単相関分析・単回帰分析
1. 単相関分析
(1) 相関分析
相関係数
によって、変数xとyの相関の度合いを判断する。
ただし、 は因果関係・理論的な関係が存在する可能性を示すのみである。
したがって強い相関があっても、事実調査や理論的検討が必要である。
また、相関が弱くても2変数間に関係がないといえない場合がある（2次関数、指数関数等）。
また相関係数を2乗したものr2は寄与率と呼ばれ、原因系xで、結果系yの説明できる量はr2となる。
(2) 相関係数
① xの偏差平方和：xのみのばらつきを表す。(独立変数)
② yの偏差平方和：yのみのばらつきを表す。(独立変数)
③ xとyの偏差積和：xyのばらつきを表す。(従属変数)
④ 不偏分散
⑤ 共分散
⑥ 相関係数
負の相関⇔無相関⇔正の相関
(3) 検定・推定
例：相関係数を根拠に、xとyに相関があるといえるか
ただし、母集団の分布は正規分布に従うものとする。
<検定>
① 仮説を立てる
帰無仮説H0：
相関があるといえない
対立仮説H1：
相関があるといえる
② 統計量として、各平方和を求め、試料相関係数を算出する。
rは、自由度
のr分布(釣鐘型対称分布の一種)に従う。
③ 判定
検定基準：r表などから、値を読み取る。
両側検定(5%,1%)： 
たとえば、両側検定5%（両端2.5%ずつ）では、
i. 
ならば帰無仮説H0は棄却され、対立仮説H1が採択される。有意水準5%にて有意差あり。
相関があるといえる。
ii. 
ならば帰無仮説H0は棄却されない。有意水準5%にて有意でない。
相関があるといえない。
<推定>
試料相関係数rから、母相関係数ρを推定する
④ 点推定
⑤ 区間推定（信頼度95%）
点推定値rをz変換し、得られたzの上限値・下限値を、今度はrに逆変換し、rの上限値・下限値を求める。
信頼度95%では、
母相関係数ρは、95%の確率で、この区間に入る。
(4) 簡易検定1（大波の検定）
散布図におけるn組の
において、メジアン
より上(+)か下(-)かを判定する。
両者の積
の符号を数え、小さい方を符号検定表の
と比較する。
① 
の時、負の相関あり（散布図において、第二象限・第四象限に分布する）
② 
の時、正の相関あり（散布図において、第一象限・第三象限に分布する）
③ 
の時、相関なし
(5) 簡易検定2（小波の検定）
散布図におけるn組の において、ある点と次の点とを結ぶ線分が上向きのときには＋、下向きの時には－、変わらない時には0とおいて、対応する線分の符号の積を求める。その積の符号の＋と－の数を数えて、上記同様符号検定表で検定する。
2. 単回帰分析
(1) 回帰分析
相関分析の結果、相関があった場合に、回帰分析に進む。
2変数を散布図にプロットした多くの点を線で代表させる。
(2) 最小二乗法
回帰直線を引く。一次式である。
これに対し、散布図上の一つ一つのプロットは、誤差を含んだ次式で表される。
残差平方和は、
となり、この値が最小となるように、回帰式の係数を決める。
ただし、傾きは、
となる。
また、平均値について、
が成り立つので、切片は、
となる。
(3) 全平方和
回帰平方和は、傾きと偏差積和から、
となる。
残差平方和を式変形すると、
したがって、全平方和は、回帰平方和と残差平方和の和で表される。
すなわち残差平方和を最小にすることは、回帰平方和を最大にすることと同値である。
また、決定係数は、寄与率に等しい。
(4) 検定
回帰平方和と残差平方和を使って、F検定を行う。
例：標準偏差を根拠に、一次回帰と誤差のばらつきに差があるといえるか
① 仮説を立てる
帰無仮説H0：
標準偏差に差があるといえない
対立仮説H1：
標準偏差に差があるといえる
② 分散分析表を作り、不偏分散Vの比を表すFを求める。
F は、自由度
のF分布に従う。
③ 判定
検定基準：F分布表などから、値を読み取る。
検定(5%,1%)：
たとえば、有意水準5%の検定では、
i. 
ならば帰無仮説H0は棄却され、対立仮説H1が採択される。有意水準5%にて有意差あり。
標準偏差に差があるといえる。すなわち一次式と認める。
ii. 
ならば帰無仮説H0は棄却されない。有意水準5%にて有意でない。
標準偏差に差があるといえない。