ワイブル分布

 

1. ワイブル分布と関数

(1)  ワイブル分布とは

複雑なシステムの故障は、サブシステム（構成要素）のうち、一番弱いところが故障することによって生じる（最弱リンクモデル）。この機構を表すのがワイブル分布である。

 

 

(2)  ワイブル分布を表す関数

 

�@ 不信頼度：分布関数

 

�A 確率密度関数

 

�B 故障率

 

 

(3)  パラメータと分布の形

A) 形状パラメータを変化させた場合

�@ m>1：故障率は時間とともに増加し、故障数はある時間で極大値を持つ。

�A m=1：故障率は一定で、故障数は指数関数的に減少していく。

�B m<1：故障率は時間とともに減少し、故障数は初期に集中する。

 

 

 

B) 位置パラメータを変化させた場合

�@ γ>0：保証時間γまで、故障は起こらない。

�A γ=0：製品の使用開始とともに、故障は起こりえる。

�B γ<0：製品出荷前にエージングを行い、本来その期間に起こりうるはずの故障数をあらかじめ排除する。

 

 

 

 

C) バスタブ曲線（故障率曲線）

システムの故障を表すバスタブ曲線は、これらパラメータの変化で説明できる。

すなわち、形状パラメータを求めることにより、初期故障・偶発故障・摩耗故障を判別することができる。

 

 

 

2. ワイブル確率紙

(1)  形状・尺度パラメータ

ワイブル分布の信頼度を表す式より、

対数を2回とって、

γ=0とすれば、

 

よって、x軸、y軸は、

 

となり、直線の傾きが形状パラメータmを表し、y=0となるようなtの値が尺度パラメータηを表す。

 

(2)  位置パラメータ

確率紙にプロットする時、位置パラメータγが0となるように、時間tの値はあらかじめ補正しておく。

もし、γを考慮しない場合、ワイブルプロットは曲線になる。γ>0の場合は、曲線の傾きが垂直になった時点でのtの値がγの推定値となる。

 

(3)  混合型ワイブル分布

試料を層別せず、パラメータの異なる二種類のワイブル分布が混在している場合、ワイブルプロットは直線にならない。

 

 

 

(4)  複合型ワイブル分布

ある時間を境に故障率が不連続となる場合、確率密度分布の形状もその時間を境に異なる。

この場合は、各々のワイブルプロットから、各々のパラメータを求める。

 

 

(5)  ワイブル確率紙による手順

�@ 寿命データを小さいものから順に並べる。

 

�A メジアン（中央値）ランク、または平均値ランクから、各試料それぞれの寿命時間t における不信頼度F (t )を求める。

 

�B (x , y )=(t , F (t ) )をワイブル確率紙にプロットする。

 

�C 各パラメータを推定する。

 

�D 平均故障寿命は、次式で求まる。

 

 

 

3. ワイブル型累積ハザード紙

混合型ワイブル分布については、ランダム打ち切りデータとして扱い、競合リスクモデルを考える。

 

累積ハザード関数は次式で表される。

 

対数を1回とって、

γ=0とすれば、

 

よって、x軸、y軸は、

となる。

 

 

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