自動制御

 

1. 制御系

(1)  シーケンス制御（開ループ制御）

あらかじめ定められた順序・条件に従って、一連の動作を逐次進める操作。

 

(2)  フィードバック制御（閉ループ制御）

制御の結果である制御量を測定し、目標値と比較して偏差があれば、制御入力を修正する操作。

 

 

2. ラプラス変換

 

(1)  ラプラス変換表

 

時間関数	ラプラス変換
単位インパルス関数	1
単位ステップ関数
ランプ関数

 

 

(2)  変換の法則

 

時間関数	ラプラス変換
導関数
積分関数
推移定理
初期値定理
最終値定理

 

初期値定理により、初期値と0近傍の傾き が求まる。

最終値定理により、定常値が求まる。フィードバック系の定常偏差を求めるときに使う。

 

 

3. 伝達関数とブロック線図

全て初期値を0、伝達要素が平衡状態とした場合の、入力信号のラプラス変換に対する、出力信号のラプラス変換を伝達関数という。

 

(1) 伝達要素

 

伝達要素	伝達関数
比例要素（P動作）
積分要素（I動作）
微分要素（D動作）
一次遅れ要素
二次遅れ要素

 

K ：比例ゲイン、T_I ：積分時間、T_D ：微分時間

ξ ：減衰係数、ω_n ：固有角周波数

 

 

(2) ブロック線図の等価変換

 

結合方式	等価変換
直列結合
並列結合
フィードバック結合

 

※ フィードバック結合

 

 

4. 周波数伝達関数

入力信号が正弦波交流である場合の伝達関数を、周波数伝達関数呼ぶ。

 

が最大となる時の値を共振値、この時の各周波数を共振角周波数という。

共振値が大きいほど応答は速いが、安定度が悪くなる。

 

(1)  絶対値と位相

�@ ゲイン（振幅比）

 

�A 利得

 

�B 位相角

 

(2)  ベクトル軌跡（ナイキスト線図）

周波数伝達関数のω=0〜∞における変化を、複素平面上に描いた軌跡。

ω=-∞〜0は、実軸に対して対称なので、省略される。

原点からの距離が、ゲインを表す。

 

�@ 一次遅れ要素

 

実部と虚部に分けると、

円を描く。

 

�A 二次遅れ要素

 

同様に、実部と虚部に分ける。

 

(3)  ボード線図（ゲイン線図＋位相線図）

横軸にに対し、

ゲイン線図では、縦軸に利得の変化を描き、

位相線図では、縦軸に位相の変化を描く。

 

 

5. 安定判別

フィードバック制御系において、フィードバック信号が入力信号より180°遅れの場合、加え合わせ点で二つの信号が重なり振動が拡大され、不安定になってしまう。

 

 

開ループ伝達関数（一巡伝達関数）：

 

閉ループ伝達関数：

 

(1)  開ループ伝達関数を使う安定性解析

一巡伝達関数において、位相が-180°の時、ゲインが1よりも小さければ（利得が0dBより小さければ）、安定となる。ゲインが1の時を安定限界という。

 

�@ ナイキスト線図による安定判別法

ナイキスト線図が、点(-1,0)を常に左側に見て進めば、系は安定となる。

この時、ベクトル軌跡とy軸との交点を(g , 0)とすると、ゲイン余裕g_m は、

 

 

また、ゲインが1の時のベクトル軌跡上のプロットの角度を位相余裕といい、

 

 

�A ボード線図による安定判別法

位相余裕は、利得が0dBの時の位相と-180°との差で表わされる。

ゲイン余裕は、位相角が-180°の時の利得と0dBとの差で表わされる。

 

 

(2)  閉ループ伝達関数を使う安定性解析

閉ループ伝達関数の特性方程式 の係数を用いて判別する。

 

�@ 特性方程式による安定判別法

出力に関して部分分数展開し、たとえばステップ入力で特性方程式が二次式の場合には、

となり、出力の時間関数は、

 

系が安定であるためには、指数関数部分が減衰することが必要となる。

そのためには、次の条件のどちらかを満たすこと。

ž  a , b が実根である場合は、ともに正であること。

ž  a , b が複素根である場合は、両者が共役の関係にあり、ともに実部が正であること(α ± j β において、α>0 )。

 

 

�A ラウス・フルビッツの安定判別法

特性方程式は、

 

系が安定であるためには、次の二つの条件を満たすこと。

ž  係数 がすべて正であること。

ž  フルビッツ行列式のすべてが正であること。

 

フルビッツ行列：

 

フルビッツ行列式：

 

たとえば、特性方程式が三次式の場合には、

 

 

 

6. フィードバック制御系の特性

開ループ伝達関数（一巡伝達関数）：

分母の積分要素  の次数N によって、0型、1型、2型と分類される。

 

閉ループ伝達関数：

 

(1)  過渡特性

インディシャル応答（単位ステップに対する応答）において、

ž  時間遅れ：応答が定常値の50%に達する時間

ž  立ち上がり時間：応答が定常値の10%に達してから90%に達するまでの時間

ž  整定時間：応答が定常値の5%以内に落ち着く時間

ž  最大オーバシュート：最大行き過ぎ量の定常値に対するパーセント

 

二次遅れ要素の伝達関数

において、減衰係数による振動条件は、

�@  ξ>1：過制動

�A  ξ=1：臨界制動

�B  0<ξ<1：振動

 

(2)  定常特性

制御偏差：

一巡伝達関数の積分要素の は分子に来る。

 

定常偏差（オフセット）：定常時(t =∞)の残留偏差

 

�@ 定常位置偏差：ステップ入力に対する定常偏差

1型以上で0

�A 定常速度偏差：ランプ入力に対する定常偏差

2型以上で0

 

�B 定常加速度偏差：加速度入力に対する定常偏差

3型以上で0

 

	定常位置偏差	定常速度偏差	定常加速度偏差
0型	εp	∞	∞
1型	0	εv	∞
2型	0	0	εa

 

制御系の定常偏差は、型が大きいほど小さくなるが、安定度が悪化する。

2型にすると定常速度偏差を0にできるが、安定度が悪くなるので、一般のサーボ系では1型を採用し、一巡伝達関数のゲインを大きくすることで、定常速度偏差を小さくする。

 

 

7. フィードバック制御系の設計

(1)  応答の速い制御系

周波数応答法によるサーボ系の設計

 

�@ ゲイン補償器

 

�A 位相進み補償器

 

�B 位相遅れ補償器

 

(2)  応答の遅い制御系

ステップ応答によるプロセス制御系の設計

ジーグラ・ニコルスの過渡応答法

PID調整計をフィードバック制御系に組み込むにあたって、3つのパラメータを決める。

 

 

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